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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Pascalsches Dreieck

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Die Binomialkoeffizienten

$\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!\,k!} $

lassen sich mit Hilfe der Rekursion

$\displaystyle \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} $

in einem Dreiecksschema, dem sogenannten Pascalschen Dreieck, berechnen. \begin{center} \begin{tabular}{c\vert cccccccccccccc} $\displaystyle \binom{0}... ...s$\ & & $\vdots$\ & & $\vdots$\ & & $\vdots$\ & \\ \end{tabular} \end{center}

Die zu beweisende Identität

$\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!\,k!} = \frac{n!}{(n-k+1)!\,(k-1)!} + \frac{n!}{(n-k)!\,k!} $

ist nach Division durch $ n!$ und Multiplikation mit $ (n-k+1)!\,k!$ äquivalent zu

$\displaystyle n+1 = k + (n+1-k)\, . $

(Autoren: Höllig/Knesch)
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  automatisch erstellt am 11.  6. 2007