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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

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(i)
$ \displaystyle \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array}\right) = 1$
(ii)
$ \displaystyle \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} n \\ n-k \end{array}\right)$
(iii)
$ \displaystyle \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) + \left( \be... ... k+1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} n+1 \\ k+1 \end{array}\right)$

(i) und (ii) folgen direkt aus der Definition.

Beweis von (iii):

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!k!} + \frac{n!}{(n-(k+1))!(k+1)!}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n![(k+1) + (n-k)]}{(n-k)!(k+1)!}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n!(n+1)}{(n-k)!(k+1)!}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(n+1)!}{((n+1)-(k+1))!(k+1)!}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} n+1 \\ k+1 \end{array}\right)$  

(Aus: Lineare Algebra und Geometrie, Kimmerle)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006