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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Eigenschaften der Ordnungsrelation

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$ \forall$ a,b,c $ \in \mathbb{R}$ gilt:

(i)
$ a < b \quad \land \quad b < c \quad \Longrightarrow \quad a < c$ (Transitivität)

(ii)
$ a < b \quad \Longrightarrow \quad a+c < b+c$

(iii)
$ a < b \quad \land \quad c > 0 \quad \Longrightarrow \quad ac < bc$

(iv)
$ \forall$ a $ \in {\mathbb{R}}$ $ \exists$ n $ \in {\mathbb{N}} \ \ n > a$ (Achimedisches Prinzip)

(v)
$ a < b \quad \land \quad c < d \quad \Longrightarrow \quad a+c < b+d$

(vi)
$ \displaystyle 0 < a < b \quad \Longrightarrow \quad 0 < \frac{1}{b} < \frac{1}{a}$

(vii)
Ist $ a > 0$ und $ b > 0$, dann gilt $ a < b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 < b^2$.


z.z: $ a < b \quad \land \quad c < d \quad \Longrightarrow \quad a+c < b+d$

Beweis:

$\displaystyle \left. \begin{array}{ll} a < b & \Longrightarrow \quad a+c < b+c ... ... d+b \end{array}\right\} a+c < b+c < d+b \quad \Longrightarrow \quad a+c < b+d $

(Aus: Lineare Algebra und Geometrie, Kimmerle)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006