Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] Englische Flagge
Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Fourier-Matrix

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel

$\displaystyle w_n = \exp(2\pi\mathrm{i}/n) $

erhält man die so genannte Fourier-Matrix

$\displaystyle W_n = \left(\begin{array}{ccc} w_n^{0\cdot 0} & \cdots & w_n^{0\... ...\ w_n^{(n-1)\cdot 0} & \cdots & w_n^{(n-1)\cdot (n-1)} \end{array}\right)\, . $

Sie ist nach Normierung ( $ W_n \to W_n/\sqrt{n}$) unitär, d.h. $ W_n^\ast W_n/n$ ist die Einheitsmatrix.
Die Orthogonalität der Spalten überprüft man leicht. Das komplexe Skalarprodukt der $ (j+1)$-ten und $ (k+1)$-ten Spalten ist

$\displaystyle \sum_{\ell=0}^{n-1} w_n^{\ell j} \overline{w_n^{\ell k}} = \sum_\ell w_n^{(j-k)\ell} = \frac{w_n^{(j-k)n} - 1}{w_n^{j-k}-1}\, , $

und da $ w_n^n=1$, ist der Zähler null.
[Zurück]
  automatisch erstellt am 8. 11. 2013