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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Bild und Kern

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Für eine lineare Abbildung $ L: V\to W$ bezeichnet man mit

$\displaystyle \operatorname{ker} L = \{v \in V:\ L(v) = 0\} \; \subseteq V $

den Kern und mit

$\displaystyle \operatorname{Bild} L = \{w\in W:\ \exists v \in V\ $   mit$\displaystyle \ L(v)= w \} \; \subseteq W $

das Bild von $ L$. Beide Mengen sind Unterräume.
Zu zeigen ist jeweils die Abgeschlossenheit bezüglich der linearen Operationen der K-Vektorräume $ V$ bzw. $ W$.

(i) $ \operatorname{ker} L$ ist Unterraum von $ V$: Für $ u,v \in \operatorname{ker}(L), \; \lambda \in K$, gilt aufgrund der Linearität von $ L$

$\displaystyle L(\lambda\, u) = \lambda \,L(u) = \lambda \, 0 = 0 $

und

$\displaystyle L(u+v) = L(u)+ L(v) = 0+ 0 = 0 \; . $

Folglich sind $ \lambda u$ und $ u+v$ ebenfalls Elemente von $ \operatorname{ker}(L)$.

(ii) $ \operatorname{Bild} L $ ist Unterraum von $ W$: Für $ u,v\in \operatorname{Bild} L$ mit $ u=L(x), v=L(y)$ und $ \lambda \in K$ gilt aufgrund der Linearität von $ L$

$\displaystyle \lambda \, u = \lambda \, L(x) = L(\lambda \, x) $

und

$\displaystyle u+v = L(x)+ L(y) = L(x+y) \; . $

Da $ V$ ein Vektorraum ist, gibt es somit entsprechende Urbilder, und folglich sind $ \lambda u$ und $ u+v$ ebenfalls Elemente von $ \operatorname{Bild} L $.
(Autor: Wipper)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006