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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten

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Für Kugelkoordinaten

$\displaystyle x=r\cos\varphi\sin\vartheta,\quad y=r\sin\varphi\sin\vartheta,\quad z=r\cos\vartheta $

gelten für räumliche Skalarfelder

$\displaystyle U(x,y,z)=\Phi(r,\vartheta,\varphi) $

und Vektorfelder

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)= F_x\vec{e}_x+F_y\vec{e}_y+F_z\vec{e}_z = \Psi_r \... ...{e}_\vartheta + \Psi_\varphi \vec{e}_\varphi = \vec{\Psi}(r,\vartheta,\varphi) $

die Transformationsregeln

$\displaystyle \operatorname{grad} U$ $\displaystyle = \partial_r \Phi \vec{e}_r + \frac{1}{r}\partial_\vartheta \Phi ... ..._\vartheta + \frac{1}{r\sin\vartheta} \partial_\varphi \Phi \vec{e}_\varphi \,,$    
$\displaystyle \Delta U$ $\displaystyle = \frac{1}{r^2}\partial_r \left(r^2\partial_r \Phi\right) + \frac... ...rtheta} \partial_\vartheta \left(\sin\vartheta\partial_\vartheta \Phi\right)\,,$    
$\displaystyle \operatorname{div} \vec{F}$ $\displaystyle = \frac{1}{r^2} \partial_r \left(r^2\Psi_r\right) + \frac{1}{r\si... ...1}{r\sin\vartheta}\partial_\vartheta\left(\sin\vartheta\Psi_\vartheta\right)\,,$    
$\displaystyle \operatorname{rot}\vec{F}$ $\displaystyle = \frac{1}{r\sin\vartheta} \left(\partial_\vartheta(\sin\vartheta\Psi_\varphi)-\partial_\varphi \Psi_\vartheta\right)\vec{e}_r$    
  $\displaystyle +\frac{1}{r\sin\vartheta} \left(\partial_\varphi \Psi_r - \sin\va... ...\partial_r (r\Psi_\vartheta)-\partial_\vartheta\Psi_r\right)\vec{e}_\varphi \,.$    

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013