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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Schrittweitensteuerung bei einem Einschrittverfahren

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Für eine effiziente Berechnung einer numerischen Lösung einer Differentialgleichung sollte die verwendete Schrittweite $ h$ an das Problem angepasst werden. Einerseits muss die Schrittweite klein genug sein, um eine vorgegebene Toleranz einzuhalten, andererseits sollte die Schrittzahl möglichst klein bleiben.

Damit der globale Fehler die Größenordnung $ \varepsilon (t_1-t_0)$ hat, sollte für den lokalen Fehler

$\displaystyle \Vert d_\mathrm{loc}\Vert \leq \varepsilon h $

gelten. Zu einem Verfahren der Ordnung $ m$ ist daher die optimale Schrittweite

$\displaystyle h_\mathrm{opt} = h (\varepsilon h/\Vert d_\mathrm{loc}\Vert)^{1/m}\,. $

Wird der lokale Fehler $ d_\mathrm{loc}$ geschätzt, sollte der Ungenauigkeit der Schätzung durch einen Faktor $ h_\mathrm{factor} < 1$ Rechnung getragen werden. Darüber hinaus empfiehlt es sich, Vergrößerungen der Schrittweite nur langsam durchzuführen.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013