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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Additionstheoreme von Sinus und Cosinus

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Für die Kreisfunktionen $ \sin t$ und $ \cos t$ gelten folgende Beziehungen:

Insbesondere ist

$\displaystyle \cos (2\alpha)=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha, \qquad \sin (2\alpha)=2\sin \alpha \cos \alpha.$

Die Additionstheoreme können auf verschiedene Weise hergeleitet werden.

(i) Elementargeometrischer Beweis:

Für $ \alpha,\beta \in (0,\pi /2)$ wird die folgende Konstruktion betrachtet.

\includegraphics{addtheorem.eps}

Im Dreieck $ \triangle (OAB)$ gilt

$\displaystyle \cos\alpha = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\vert \overline{OB} \vert}... ...rrow \qquad \vert \overline{OB} \vert = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha}, $

und im Dreieck $ \triangle(BCD)$

$\displaystyle \tan\alpha = \frac{\overline{BD}}{\sin\beta} \qquad \Longleftrigh... ...\overline{BD} = \sin\beta\tan\alpha = \sin\beta \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. $

Somit ist

$\displaystyle \vert \overline{OB} \vert+\vert \overline{BD} \vert = \cos\beta = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha} $

oder nach Multiplikation mit $ \cos\alpha$ und Umordnen

$\displaystyle \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\,. $

Analog argumentiert man für andere Winkelbereiche $ \alpha$ oder $ \beta \not\in (0,\pi /2)$ und erhält so das Additionstheorem für den Cosinus.

Das Additionstheorem des Sinus folgt hieraus mit den Beziehungen

$\displaystyle \sin\varphi = \cos \left( \varphi - \frac{\pi}{2} \right), \qquad \cos\varphi = -\sin \left( \varphi - \frac{\pi}{2} \right). $

Man erhält

$\displaystyle \sin(\alpha+\beta) = \cos\left(\alpha+\beta-\frac{\pi}{2}\right) ... ...(\beta-\frac{\pi}{2}\right) - \sin\alpha\sin\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) $

und daher

$\displaystyle \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha \,. $

(ii) Beweis mit Hilfe der Differentialrechnung:

Man setzt zunächst

$\displaystyle f(x) = \sin x \cos(z-x) + \cos x \sin(z-x) $

Dann ist

$\displaystyle \begin{array}{rcl} f'(x) & = & \cos x \cos(z-x) + \sin x (-\sin(z... ...-1) + \\ & & (-\sin x)\sin(z-x) + \cos x \cos(z-x)(-1) \\ & = & 0 \end{array}$

Daher ist $ f(x)$ von $ x$ unabhängig. Es ist somit

$\displaystyle f(x) = f(0) = \sin z \ , $

d.h.

$\displaystyle \sin z = \sin x \cos(z-x) + \cos x \sin(z-x) $

Mit der Substitution $ z = y + x$ erhält man

$\displaystyle \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $

Dies ist das Additionstheorem des Sinus. Das Additionstheorem des Cosinus ergibt sich analog.

(iii) Beweis mit der Formel von Euler-Moivre:

Mit der Formel von Euler-Moivre kann man die Exponentialfunktion auch für komplexe Zahlen definieren:

$\displaystyle e^{\mathrm{i}\varphi} = \cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi $

Dann ist

$\displaystyle \begin{array}{rcl} \cos(\varphi+\psi) + \mathrm{i} \sin(\varphi+\... ...si)\\ & + & \mathrm{i} (\sin\varphi\cos\psi + \cos\varphi\sin\psi) \end{array}$

Vergleich der Real- und Imaginärteile liefert die Additionstheoreme des Cosinus bzw. des Sinus.
(Aus: Lineare Algebra und Geometrie, Kimmerle)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006