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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Dirichlet-Kern

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Die Fourier-Projektion

$\displaystyle p_n f = \sum_{\vert k\vert\le n} \langle f, e_k\rangle_{2\pi} e_k,\quad e_k(x) = e^{\mathrm{i}kx} \,, $

besitzt die Integraldarstellung

$\displaystyle (p_n f)(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi q_n(x-t)\,f(t)\,dt \,, $

mit

$\displaystyle q_n(\xi)=\frac{\sin\left((n+1/2)\xi\right)}{\sin\left(\xi/2\right)}\,, $

d.h. $ p_nf$ lässt sich als Faltung des sogenannten Dirichlet-Kerns $ q_n$ mit der Funktion $ f$ darstellen.
Nach Definition des Skalarprodukts $ \langle \cdot,\cdot\rangle_{2\pi}$ ist

$\displaystyle p_n f(x)$ $\displaystyle = \sum_{\vert k\vert\le n} \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f... ...nt\limits_{-\pi}^\pi \sum_{\vert k\vert\le n} e^{\mathrm{i}k(x-t)} f(t) \,dt\,,$    

und mit Hilfe der geometrischen Summenformel und $ \xi=x-t$ folgt


$\displaystyle p_n f(x)$ $\displaystyle = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi e^{-\mathrm{i}n\xi}\sum_{... ...-\mathrm{i}n\xi} \frac{1-e^{\mathrm{i}(2n+1)\xi}}{1-e^{\mathrm{i}\xi}}f(t) \,dt$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \frac{e^{-\mathrm{i}(n+1/... ...limits_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left((n+1/2)\xi\right)}{\sin(\xi/2)}\, f(t)\,dt\,.$    

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  automatisch erstellt am 8. 11. 2013