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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Verschiebung und Fourier-Transformation

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Eine Verschiebung der Variablen entspricht nach Fourier-Transformation bzw. Rücktransformation einer Multiplikation mit einer Exponentialfunktion:
$\displaystyle f(x-a) \quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad \exp(-\mathrm{i}ay) \hat{f}(y)$  
$\displaystyle \exp(\mathrm{i}ax) f(x) \quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad \hat{f}(y-a) \,.$  

Mit $ g(x)=f(x-a)$ und $ \tilde{x}=x-a$ ist

$\displaystyle \hat{g}(y)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-a)e^{-\mathrm{i}yx}\,... ...ilde{x})e^{-\mathrm{i}y\tilde{x}}\,d\tilde{x} = e^{-\mathrm{i}ya}\hat{f}(y)\,, $

und für $ h(x)=e^{\mathrm{i}ax}f(x)$ erhält man

$\displaystyle \hat{h}(y)= \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)e^{-\mathrm{i}(y-a)}x\,dx = \hat{f}(y-a)\,. $

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  automatisch erstellt am 13. 11. 2013