Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Rekonstruktionssatz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Hat $ f$ Bandbreite $ h$, d.h. ist

$\displaystyle \hat{f}(y) = 0,\quad \vert y\vert>h \,, $

dann gilt

$\displaystyle f(x) = \sum_{j=-\infty}^\infty f(j\pi/h) \operatorname{sinc}(hx-j\pi) $

mit $ \operatorname{sinc}(t)=\sin t/t$. Funktionen mit endlicher Bandbreite können also aus ihren Werten auf einem genügend feinen Gitter rekonstruiert werden.
Sei zunächst $ h=\pi$. Dann lässt sich $ \hat{f}$ durch das Produkt einer Fourier-Reihe mit der charakteristischen Funktion $ \chi$ des Intervalls $ [-\pi,\pi]$ darstellen:

$\displaystyle \hat{f}(y) = \left( \sum_j c_j e^{\mathrm{i}jy}\right) \chi(y), \... ...c_j = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \hat{f}(y)e^{-\mathrm{i}jy}\,dy \,. $

Da $ f$ Bandbreite $ \pi$ hat, stimmt $ c_j$ mit der inversen Fourier-Transformation überein:

$\displaystyle c_j = f(-j) \,. $

Da $ e^{\mathrm{i}jy}\chi(y)$ die Fourier-Transformation von

$\displaystyle \operatorname{sinc}(\pi(x + j)) $

ist, folgt durch inverse Transformation der obigen Gleichung

$\displaystyle f(x) = \sum_j f(-j)\operatorname{sinc}(\pi(x+j)) \,. $

Ersetzt man $ j$ durch $ -j$, so erhält man also die gewünschte Identität.

Die allgemeine Formel ergibt sich durch Skalierung. Hat $ f$ Bandbreite $ h$, dann hat

$\displaystyle g(x) = f(x\,\pi/h) $

Bandbreite $ \pi$, denn die Fourier-Transformation von $ g$ ist

$\displaystyle \hat{g}(y) = (h/\pi) \hat{f}(y\,h/\pi) \,. $

Nach dem bereits Gezeigten ist

$\displaystyle f(x\,\pi/h) = g(x) = \sum_j g(j) \operatorname{sinc}(\pi(x-j)),\quad g(j) = f(j\,\pi/h) \,, $

und die Substitution $ x\leftarrow x\,h/\pi$ ergibt die allgemeine Rekonstruktionsformel.
[Zurück]
  automatisch erstellt am 13. 11. 2013