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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Singularitäten einer Differentialgleichung im Unendlichen

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Der Typ der Differentialgleichung

$\displaystyle u''(z) + q(z) u'(z) + p(z)u(z) = 0 $

mit den Koeffizienten

$\displaystyle q(z) = \sum_{j\in\mathbb{Z}} q_j z^j,\quad p(z) = \sum_{j\in\mathbb{Z}} p_j z^j,\quad \vert z\vert>r \,, $

entspricht dem Typ bei $ t=0$ nach der Substitution

$\displaystyle t = 1/z,\quad u(z) = \tilde u(t) \,. $

Nach dieser Transformation erhält man die neuen Koeffizienten

$\displaystyle \tilde q(t) = \frac{2}{t} - \frac{q(1/t)}{t^2},\quad \tilde p(t) = \frac{p(1/t)}{t^4} \,. $

Folglich ist $ \infty$ regulär, falls

$\displaystyle q_{-1}$ $\displaystyle =2,\quad q_j=0,\quad j\ge 0,$    
$\displaystyle p_j$ $\displaystyle =0,\quad j\ge -3 \,,$    

und regulär singulär, falls


$\displaystyle q_j$ $\displaystyle = 0,\quad j\ge 0$    
$\displaystyle p_j$ $\displaystyle = 0,\quad j\ge -1$    

gilt.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013