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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Hypergeometrische Differentialgleichung

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Die Differentialgleichung

$\displaystyle z(1-z)u''(z) + (c-(a+b+1)z) u'(z) - ab u(z)=0 $

besitzt bei $ z=0,1,\infty$ reguläre Singularitäten. Für $ -c\notin \mathbb{N}_0$ existiert eine analytische Lösung, die sogenannte hypergeometrische Funktion

$\displaystyle u(z) = F(a,b,c,z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n (1)_n}\,z^n $

mit $ (t)_0=1$    und $ (t)_n=t(t+1)\cdots(t+n-1)$    für $ n \geq 1$.

Schreibt man die Differentialgleichung als

$\displaystyle u''(z)+q(z)u'(z)+p(z)u(z)=0 $

mit

$\displaystyle q(z)$ $\displaystyle =\frac{c}{z}+\frac{1+a+b-c}{z-1}\,,$    
$\displaystyle p(z)$ $\displaystyle =\frac{ab}{z(z-1)}\,,$    

kann man direkt ablesen, dass 0 und $ 1$ reguläre singuläre Punkte sind.

Nach der Transformation $ t=1/z$ erhält man

$\displaystyle \tilde{u}''(t)+\tilde{q}(t)\tilde{u}'(t)+\tilde{p}(t)\tilde{u}(t)=0 $

mit

$\displaystyle \tilde{q}(t)$ $\displaystyle =\frac{2}{t}-\frac{ct+\frac{(1+a+b-c)t}{1-t}}{t^2} =\frac{2-c}{t}-\frac{1+a+b-c}{t(1-t)}\,,$    
$\displaystyle \tilde{p}(t)$ $\displaystyle =\frac{\frac{abt^2}{1-t}}{t^4}=\frac{ab}{t^2(1-t)}\,,$    

d.h. die hypergeometrische Differentialgleichung hat auch bei $ \infty$ einen regulären singulären Punkt.

Mit dem Ansatz

$\displaystyle u(z)=u_0+u_1z+u_2z^2+\cdots $

ergibt sich für die Koeffizienten von $ z^{n}$

$\displaystyle -n(n-1)u_n+(n+1)nu_{n+1}+c(n+1)u_{n+1}-n(a+b+1)u_n-abu_n=0 $

bzw.

$\displaystyle u_{n+1} =\frac{n^2-n+na+nb+n+ab}{(n+c)(n+1)}u_n= \frac{(n+a)(n+b)}{(n+c)(n+1)}u_n $

oder explizit mit $ u_0=1$

$\displaystyle u_n=\frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n (1)_n} $

und damit die behauptete Form der Lösung.

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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013