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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Stetiges lineares Funktional

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Ein stetiges lineares Funktinal $ \Lambda$ auf einem reellen (komplexen) topologischen Vektorraum $ V$ ist eine stetige lineare Abbildung von $ V$ nach $ \mathbb{R}$ ( $ \mathbb{C}$).

In einem normierten Vektorraum ist Stetigkeit von $ \Lambda$ äquivalent zu der Beschränktheit des Bildes der Einheitskugel um Null. Man definiert in diesem Fall

$\displaystyle \Vert\Lambda\Vert =\sup_{\Vert v\Vert=1}\vert\Lambda v\vert $

als die Norm des linearen Funktionals.

Aufgrund der Homogenität der Norm, sind ebenfalls die äquivalenten Definitionen

$\displaystyle \Vert\Lambda\Vert=\sup_{v\ne 0}\frac{\vert\Lambda v\vert}{\Vert v\Vert} =\sup_{\Vert v\Vert\le 1}\vert\Lambda v\vert $

möglich.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013