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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Anfangsrandwertproblem für die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung

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Die Lösung der Wärmeleitungsgleichung

$\displaystyle u_t=u_{xx}+f\ ,\quad x\in(0,\pi)\ ,\ t>0 $

für die Anfangs- und Randwerte

$\displaystyle u(x,0)=a(x),\quad u(0,t)=u(\pi,t)=0 $

lässt sich als Sinus-Reihe darstellen:

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{j=1}^\infty u_j(t)\sin(jx) $

mit

$\displaystyle u_j(t)=a_j\exp(-j^2t) +\int_0^t\exp\big(-j^2(t-s)\big)f_j(s)\,ds $

und

$\displaystyle a_j=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi a(x)\sin(jx)\,dx\,,\quad f_j(t)=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x,t)\sin(jx)\,dx $

den Sinus-Koeffizienten von $ a$ und $ f(\cdot,t)$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013