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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Bestimmung der Fourierkoeffizienten

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Mit $ c_j(t)=\frac1{\sqrt\pi}\cos(jt)$, $ s_j(t)=\frac1{\sqrt\pi}\sin(jt)$ für $ j \in \mathbb{N}$, sowie $ c_0(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}$ berechnet man die Koeffizienten $ a_k$ und $ b_k$ von $ f(t)\sum\limits_{j=0}^Na_jc_j(t)+\sum\limits_{j=1}^Nb_js_j(t)$ als $ a_k=\left<c_k,f\right>$ und $ b_k=\left<s_k,f\right>$.

Mit anderen Worten: Man erhält den Koeffizienten, mit dem die Funktion $ c_k$ in die Linearkombination $ f$ eingeht, als Skalarprodukt von $ c_k$ mit der Funktion $ f$.

Wir berechnen $ \left<c_k,f\right>$, für $ \left<s_k,f\right>$ geht das analog:

$\displaystyle \left<c_k,f\right>$ $\displaystyle = \left<c_k,\sum\limits_{j=0}^Na_jc_j+\sum\limits_{j=1}^Nb_js_j\right>$    
  $\displaystyle = \sum\limits_{j=0}^N\left<c_k,a_jc_j\right>+\sum\limits_{j=1}^N\left<c_k,b_js_j\right>$    
  $\displaystyle =\sum\limits_{j=0}^Na_j\left<c_k,c_j\right>+\sum\limits_{j=1}^Nb_j\left<c_k,s_j\right>=a_k. \quad\square$    

\includegraphics[width=.8\linewidth]{welleMusik}

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  automatisch erstellt am 29.  8. 2006