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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Satz

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  1. Koordinatentransformationen sind Affinitäten.
  2. Koordinatentransformationen zwischen kartesischen Koordinatensystemen sind Bewegungen.
  3. Die Koordinatentransformation zwischen zwei kartesischen Systemen ist genau dann eine eigentliche Bewegung, wenn diese die gleiche Orientierung haben (also beide Rechtssysteme oder beide Linkssysteme sind).
Wir wollen jetzt sehen, wie man affine Abbildungen bezüglich verschiedener Koordinatensysteme beschreiben kann.

Es sei zunächst eine affine Abbildung gegeben als $ \alpha\colon K^n\to K^n\colon v\mapsto A\,v+t$. Diese Beschreibung benutzt das Standardkoordinatensystem  $ \mathbb{E}$.

Sei $ {{\color{darkblue}\mathbb{F}}}=(P;f_1,\ldots,f_n)$ ein affines Koordinatensystem. Wir wollen direkt aus den Koordinaten $ \vphantom{X}_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}} X$ eines Punktes $ X$ die Koordinaten $ \vphantom{\alpha(X)}_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}{\alpha(X)}$ berechnen können.

Dazu rechnen wir zuerst (in Gedanken) von Koordinaten bezüglich $ {{\color{darkblue}\mathbb{F}}}$ auf Koordinaten bezüglich $ \mathbb{E}$ um: Das geht mit $ \vphantom{\kappa}_\mathbb{E}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}\colon v\mapsto F\,v+P$.

Danach wenden wir $ \alpha$ an:

$\displaystyle \vphantom{\bigl(\alpha(X)\bigr)}_\mathbb{E}{\bigl(\alpha(X)\bigr)... ... t = A\,\left(F\cdot\vphantom{F}_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}} X+P\right) + t $

und rechnen schließlich zurück in Koordinaten bezüglich  $ {{\color{darkblue}\mathbb{F}}}$:

$\displaystyle \vphantom{F}_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}{\bigl(\alpha(X)\bigr)}$ $\displaystyle = \vphantom{\kappa}_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}\kappa_\mathbb{... ...A\,\bigl(F\cdot\vphantom{X}_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}} X+P\bigr) + t\right)$    
  $\displaystyle = F^{-1}\left(A\,\bigl(F\cdot\vphantom{X}_{{\color{darkblue}\math... ...phantom{X}_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}} X + F^{-1}\left(A\,P-P + t\right) \,.$    

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  automatisch erstellt am 15.  8. 2006