[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] | |
Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu | |
Untergruppenkriterium |
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z | Übersicht |
ist genau dann eine Untergruppe von , wenn für alle gilt
Es ist also umgekehrt zu zeigen, dass eine Gruppe ist, wenn für alle gilt .
Die Assoziativität von folgt aus der Assoziativität von . Für beliebiges wählt man als . Dann ist . Somit ist das neutrale Element von in enthalten, und es gilt . Es bleibt noch zu zeigen das für jedes Element auch ist. Dazu wählt man und . Dann ist nach Voraussetzung .
Ist eine endliche Gruppe, dann besitzt jedes Element endliche Ordnung. Für ein Element ist dann auch (mit der Wahl ). Durch iterieren erhält man für alle , dass ist. Sei nun die Ordnung von von , d.h. . Dann ist und damit .
automatisch erstellt am 7. 9. 2006 |