Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Struktur der Lorentz-Gruppe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
$ SO^{+}(3,1)$ ist ein Normalteiler von $ O(3,1) \hspace{4cm} (1)$.
Um die Struktur der Lorentz-Gruppe zu beschreiben, reicht es alle Nebenklassen von $ SO^{+}(3,1)$ in $ O(3,1)$ zu bestimmen. Es gilt

$\displaystyle \vert O(3,1)/SO^{+}(3,1)\vert\hspace{0.2cm}= \hspace{0.2cm} 4. \hspace{3cm} (2)$

Sei $ C = (\zeta_{ij})_{1 \geq i,j \geq 4}\not \in SO^{+}(3,1)$, dann gibt es 3 Fälle:
  1. det$ C$ = 1 und $ \zeta_{44} \leq -1$. Beispiel: $ C_{1} = \footnotesize {\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$
  2. det$ C$ = -1 und $ \zeta_{44} \geq -1$. Beispiel: $ C_{2} = \footnotesize {\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$
  3. det$ C$ = -1 und $ \zeta_{44} \leq 1$. Beispiel: $ C_{3} = \footnotesize {\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}\\ \\ $
Die Matrizen $ E_{4}, C_{1}, C_{2}, C_{3}$ sind paarweise nicht verbindbar sind, d. h. sie liegen in paarweise verschiedenen Nebenklassen von $ SO^{+}(3,1)$.Also gilt insgesamt:

$\displaystyle O(3,1) = SO^{+}(3,1) \hspace{0.3cm} \cup \; \big{[}C_{1} \cdot SO... ...^{+}(3,1)\big{]} \hspace{0.3cm} \cup \; \big{[}C_{3} \cdot SO^{+}(3,1)\big{]}.$

Wegen $ SO^{+}(3,1) \lhd SO(3,1) \lhd O(3,1)$ gilt:

$ \vert O(3,1)/SO^{+}(3,1)\vert\hspace{0.3cm}= \hspace{0.3cm}\underbrace{\vert O... ...{(1)} \cdot \underbrace{\vert SO(3,1)/SO^{+}(3,1)\vert}_{(2)} = 2 \cdot 2 = 4.$
zu (1):
$ \hspace{0.5cm} det: O(3,1) \rightarrow \{\pm 1\}$ ist ein surjektiver Homomorphismus mit dem Kern $ SO(3,1)$

$\displaystyle \Rightarrow O(3,1)/SO(3,1) \cong \{\pm 1\}.$

zu (2):
$ \hspace{0.5cm}\rho: SO(3,1) \rightarrow \{\pm 1\}$ mit $ \rho$(( $ \zeta_{ij})$) = $ sign(\zeta_{44})$ ist ein surjektiver Homomorphismus mit dem Kern $ SO^{+}(3,1).$

Damit gilt $ \hspace{1cm} SO(3,1)/SO^{+}(3,1) \cong \{\pm 1\}.$

(Autor: Borgart)
[Zurück zur Aussage]
  automatisch erstellt am 28. 10. 2006