Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Rechenregeln für Grenzwerte bei Folgen

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	Rechenregeln für Grenzwerte bei Folgen

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Übersicht

Für konvergente Folgen

und

mit Grenzwerten

und

gilt:

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(a_n \pm b_n)} = a \pm b$
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(a_n b_n)} = ab$
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(a_n/b_n)} = a/b$ , falls $b \neq 0$

Summe und Differenz: Aus der Dreiecksungleichung folgt

$\displaystyle \vert (a_n \pm b_n) -(a\pm b)\vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert b_n -b \vert \rightarrow 0.$

Produkt: Da beschränkt ist, folgt

$\displaystyle \vert a_nb_n -ab\vert = \vert a_nb_n -a_nb + a_n b - ab\vert \leq \vert a_n\vert \vert b_n -b\vert + \vert b\vert\vert a_n -a \vert \rightarrow 0.$

Quotient: Für ist

$\displaystyle 0 \not \in \left( b-\frac{\vert b\vert}{2},b+\frac{\vert b\vert}{2} \right)\ni b_n\,,$

und es folgt

$\displaystyle \left\vert\frac{1}{b_n}- \frac{1}{b}\right\vert = \left\vert \frac{b-b_n}{bb_n}\right\vert\leq$ const $\displaystyle \vert b_n - b\vert \rightarrow 0,$

d.h. $1/b_n\rightarrow 1/b$ . Die Konvergenz von folgt nun aus der bereits bewiesenen Regel für Produkte konvergenter Folgen.

(Autoren: App/Höllig )

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automatisch erstellt am 8. 4. 2008