Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Isomorphie der eigentlichen Lorentz-Gruppe mit SL(2,C)/{E} und SO(3) mit SU(2)/{E}

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	Isomorphie der eigentlichen Lorentz-Gruppe mit SL(2,C)/{E} und SO(3) mit SU(2)/{E}

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Übersicht

Wir betrachten die Menge $V = \{ X \in Mat(2, \mathbb{C}) \mid \overline{X}^{\,t} = X \}$ der hermiteschen 2 $\times$ 2-Matrizen zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform $\sigma: V \times V \rightarrow \mathbb{R}:$

$\displaystyle \sigma(X,Y) = -\frac{1}{2}\Big{[} det(X+Y) - detX - detY \Big{]}$

Durch Nachrechnen erhält man: $\hspace{0.5cm}V = \Big{\{} \begin{pmatrix}\alpha & \bar{z}\\ z & \beta \end{pm... ...\beta \in \mathbb{R} \hspace{0.4cm} und \hspace{0.4cm} z \in \mathbb{C}\Big{\}}$
Wir definieren $\phi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow V,\hspace{1cm} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\... ...pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}a+d & b + ic\\ b - ic & -a+d \end{pmatrix}$ .
$\phi$ ist eine Isometrie von $(\mathbb{R}^{4}, h)$ nach $(V,\sigma)$ , d. h. $O(3,1) \cong O(V, \sigma)$ .
Insbesonders gilt dann, dass $SO^{+}(3,1)\hspace{0.2cm}\cong\hspace{0.2cm} L$ , wobei $L \le O(V, \sigma)$ .
Es kann gezeigt werden, dass

$\displaystyle SO^{+}(3,1) \hspace{0.2cm} \cong \hspace{0.2cm}L \hspace{0.2cm} \cong \hspace{0.2cm}SL(2,\mathbb{C}) / \{\pm E\} \hspace{3cm}(1)$