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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Erweiterungeigenschaft von Auflösbarkeit, Max - Bedingung und Nilpotenz

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Sei $ G$ eine Gruppe und $ N \unlhd G$. Dann gilt:
a)
$ N$ und $ G\,/\,N$ auflösbar $ \Longleftrightarrow$ G auflösbar.
b)
$ N$ und $ G\,/\,N$ besitzen Max $ \Longleftrightarrow$ G besitzt Max.
Ist darüberhinaus $ N \leq Z(G)$, dann gilt:
c)
$ N$ und $ G\,/\,N$ nilpotent $ \Longleftrightarrow$ G nilpotent.
a)
Beweis von ,, $ \Rightarrow$``: Betrachtet man die Abbildung $ \varphi : G \rightarrow G/N$, dann gilt $ \varphi(G^{(1)})=(G/N)^{(1)}$. Mit Induktion ergibt sich $ \varphi(G^{(i)})=(G/N)^{(i)}$. Da $ G/N$ auflösbar ist existiert ein $ n\in {\mathbb{N}}$ mit $ (G/N)^{(n)}=1$ und damit $ \varphi(G^{(n)})=1$. Es gilt also $ G^{(n)} \leq N = ker(\varphi)$. Nach Voraussetzung ist $ N$ auflösbar, und es folgt, dass auch $ G^{(n)}$ auflösbar ist. Es gilt aber $ (G^{(n)})^{(i)}=G^{(n+i)}$. Damit ist auch $ G$ auflösbar.

Beweis von ,, $ \Leftarrow$``: Mit $ G$ ist auch jede Untergruppe von $ G$ auflösbar. Außerdem sind neben Untergruppen auch Bilder auflösbarer Gruppen auflösbar.

b)
Die Richtung ,, $ \Leftarrow$`` folgt unmittelbar aus der Definition. Für ,, $ \Rightarrow$`` sei $ 1 \leq G_1 \leq \ldots \leq G_k \leq \ldots$ eine aufsteigende Kette von Untergruppen von $ G$. Es ist dann $ 1 \leq NG_1/N \leq \ldots \leq NG_k/N \leq \ldots$ eine aufsteigende Kette von Untergruppen von $ G/N$ die nach Voraussetzung stationär wird, d.h. es existiert ein $ m \in {\mathbb{N}}$ mit $ NG_m/=NG_{m+1}/N$. Es gilt aber $ G_m/G_m \cap N \cong NG_m/N=NG_{m+1}/N \cong G_{m+1}/G_{m+1} \cap N$. Die Gruppen $ G_{i} \cap N$ bilden eine Kette von Untergruppen von $ N$ die nach Voraussetzung stationär wird. Es gibt also einen Index $ j$ mit $ G_j \cap N= G_{j+1} \cap N$. Dieser kann so groß gewählt werden, dass auch $ G_j/G_j \cap N \cong G_{j+1}/G_{j+1} \cap N$ gilt. Damit folgt $ G_j=G_{j+1}$ und $ G$ hat Max.

c)
Zu ,, $ \Leftarrow$``: Ist $ G$ nilpotent, dann sind auch Untergruppen und Bilder von $ G$ nilpotent. Die Behauptung folgt also sofort.

Beweis von ,, $ \Rightarrow$``: Sei $ \kappa : G \longrightarrow G/N$ die Faktorabbildung. Es gilt dann $ \kappa(L_i(G))=L_i(G/N)$, denn es ist

$\displaystyle \kappa(L_i(G))=\kappa([G,L_{i-1}(G)])=[\kappa(G),\kappa(L_{i-1}(G))] $

und mit Induktion folgt

$\displaystyle [\kappa(G),\kappa(L_{i-1}(G))]=[G/N,L_{i-1}(G/N)]=L_i(G/N) \,. $

Nach Voraussetzung ist $ G/N$ nilpotent, und damit ist $ L_{c+1}(G/N)=1$. Es ist also $ L_{c+1} \leq Ker(\kappa)=N\leq Z(G)$, und es folgt

$\displaystyle L_{c+2}(G)=[G,L_{c+1}(G)]=1 \,. $

$ G$ ist also nilpotent
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  automatisch erstellt am 3. 11. 2006