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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Affine Approximation von Punktwolken

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Eine beste euklidische Approximation von Punkten mit Ortsvektoren

$\displaystyle p_i = (p_{i,1},\,\ldots,\,p_{i,n})^\mathrm{t},\quad i=1,\ldots,m, $

mit einem $ k$-dimensionalen affinen Unterraum

$\displaystyle H:\ a + \mathrm{span}(v_1,\ldots,v_k) $

lässt sich durch Minimierung der Summe der quadrierten Distanzen

$\displaystyle e(P,H)^2 = \sum_i \mathrm{dist}(p_i,H)^2 $

bestimmen.
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Bild_approx_point_clouds}

Der optimale affine Unterraum $ H$ kann folgendermaßen charakterisiert werden. Der Vektor $ a$ ist der Mittelwert der Ortsvektoren $ p_i$,

$\displaystyle a = \frac{1}{m} \sum_i p_i\,. $

Ausgehend von der Singulärwert-Zerlegung

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} p_1^\mathrm{t} - a^\mathrm{t} \\ \vdots... ...\mathrm{t} \end{array}\right) = U\,\mathrm{diag}(s_1,\,s_2,\,\ldots)\,V^t $

der $ m\times n$-Matrix der zentrierten Punkte können die ersten $ k$ Spalten von $ V$ als Basisvektoren $ v_j$ gewählt werden. Schließlich gilt für den Fehler

$\displaystyle e(P,H)^2 = \sum_{i>k} s_i^2 \,. $

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013