Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Kantorovich-Ungleichung

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	Kantorovich-Ungleichung

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Sei $x \to y$ ein Schritt bei der Minimierung einer quadratischen Funktion

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} x^\mathrm{t} A x - b^\mathrm{t} x$

mit symmetrisch positiv definiter Matrix

durch die Methode des steilsten Abstiegs. Dann gilt

$\displaystyle \Vert y-x_*\Vert _A \le \frac{\kappa-1}{\kappa+1} \Vert x-x_*\Vert _A \,.$

Dabei bezeichnet $x_*=A^{-1}b$ die Lösung, die Kondition $\kappa=\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ den Quotienten der extremalen Eigenwerte von

und $\Vert z\Vert _A = \sqrt{z^\mathrm{t} Az}$ .

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automatisch erstellt am 19. 8. 2013