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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

BDF-Verfahren

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Das BDF-Verfahren (backward-differentiation-method) zur Lösung eines Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime = f(t,u) $

ist ein implizites lineares Mehrschrittverfahren. Dabei interpoliert man die Approximationen $ u^h_{\ell-k}\approx u(t^h_{\ell-k})$, $ t=-1,\ldots,n-1$, durch ein Polynom $ p$ vom Grad $ \le n$ und fordert, dass $ p$ das Differentialgleichungssystem im Punkt $ t^h_{\ell+1}$ erfüllt:

$\displaystyle p^\prime(t^h_{\ell+1}) = f(t^h_{\ell+1},u^h_{\ell+1}) \,. $

Damit hat ein Schritt des Verfahrens die Form

$\displaystyle u^h_{\ell+1} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k u^h_{\ell-k} + h b_{-1} f(t^h_{\ell+1},u^h_{\ell+1}) $

mit

$\displaystyle b_{-1} = 1/p^\prime_{-1}(1),\quad a_k = -p^\prime_k(1) b_{-1} $

und $ p_k$ den Lagrange-Polynomen

$\displaystyle p_k(s) = \prod_{j=-1,j\ne k}^{n-1} \frac{s+j}{j-k} \,. $

Das $ n$-Schritt-BDF-Verfahren hat die Ordnung $ n$. Allerdings sind die Verfahren nur bis zur Ordnung $ 6$ stabil. Für $ n>6$ existieren exponentiell wachsende parasitäre Lösungen, so dass diese Verfahren nicht zur numerischen Approximation verwendet werden können. Die Parameter der stabilen BDF-Verfahren können der folgenden Tabelle entnommen werden.

$ n$ $ b_{-1}$ $ a_0$ $ a_1$ $ a_2$ $ a_3$ $ a_4$ $ a_5$
$ 2$ $ \frac{2}{3}$ $ \frac{4}{3}$ $ -\frac{1}{3}$        
$ 3$ $ \frac{6}{11}$ $ \frac{18}{11}$ $ -\frac{9}{11}$ $ \frac{2}{11}$      
$ 4$ $ \frac{12}{25}$ $ \frac{48}{25}$ $ -\frac{36}{25}$ $ \frac{16}{25}$ $ -\frac{3}{25}$    
$ 5$ $ \frac{60}{137}$ $ \frac{300}{137}$ $ -\frac{300}{137}$ $ \frac{200}{137}$ $ -\frac{75}{137}$ $ \frac{12}{137}$  
$ 6$ $ \frac{60}{147}$ $ \frac{360}{147}$ $ -\frac{450}{147}$ $ \frac{400}{147}$ $ -\frac{225}{147}$ $ \frac{72}{147}$ $ -\frac{10}{147}$

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013