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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Matrix-Norm und Spektralradius

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Für den Spektralradius $ \varrho(A)$ einer quadratischen Matrix $ A$ gilt

$\displaystyle \varrho(A) \le \Vert A\Vert $

für jede einer Vektornorm zugeordnete Matrix-Norm.

Die umgekehrte Ungleichung gilt im allgemeinen nicht. Es existiert jedoch für alle $ \varepsilon>0$ eine Vektornorm $ \Vert\ \Vert _\varepsilon$, so dass

$\displaystyle \Vert A\Vert _\varepsilon \le \varrho(A) + \varepsilon \,. $

Stimmt für alle Eigenwerte $ \lambda$ von $ A$ mit $ \vert\lambda\vert=\varrho(A)$ die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit überein, so ist $ \varepsilon=0$ möglich, d.h. $ \Vert A\Vert _\varepsilon=\varrho(A)$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013