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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Harmonische Reihe

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Die harmonische Reihe:

$\displaystyle s = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\,, $

divergiert bzw. hat den uneigentlichen Grenzwert $ s = \infty$.

Allgemeiner ist die Reihe

$\displaystyle s_{\alpha} = \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-\alpha} $

für $ \alpha \leq 1$ divergent und für $ \alpha > 1$ konvergent. Einige spezielle Werte sind
$\displaystyle s_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \hdots = \dfrac{\pi^2}{6}\,,$  
$\displaystyle s_4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-4} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \hdots = \dfrac{\pi^4}{90}\,,$  
$\displaystyle s_6$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-6} = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \hdots= \dfrac{\pi^6}{945}\,.$  

Die Konvergenz der Reihe $ s_{\alpha}$ kann man analysieren, indem man Summanden geeignet zusammenfasst:

$\displaystyle s_{\alpha} = 1 + \sum_{k=0}^{\infty}\,\quad a_k\,, a_k = (2^{k}+1)^{-\alpha} + \hdots + (2^{k+1})^{-\alpha}\,. $

Schätzt man $ a_k$ durch die Anzahl $ 2^k$ der Summanden mal dem minimum bzw. maximum Wert ab, so folgt

$\displaystyle 2^k\cdot2^{-(k+1)\alpha} \leq a_k \leq 2^k\cdot2^{-k\alpha}\,. $

Die Reihe kann also mit der geometrischen Reihe

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\,q^k\,,\quad q = 2^{1-\alpha}\,, $

verglichen werden. Sie konvergiert damit genau dann wenn $ q < 1$ bzw. $ \alpha > 1$ .
(Autor: Langhof)
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  automatisch erstellt am 5.  5. 2008