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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Kubischer Spline

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Ein kubischer Spline $ p$ zu einer Partition

$\displaystyle a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b $

eines Intervalls $ [a,b]$ kann, alternativ zu der B-Spline-Darstellung, durch seine Werte $ f_{k-1}$, $ f_k$ und Ableitungen $ d_{k-1}^+$, $ d_k^-$ an den Endpunkten der Teilintervalle festgelegt werden. Aus diesen Daten können die kubischen Polynome $ p_k$ auf den Teilintervallen $ [x_{k-1},x_k]$ mit kubischer Hermite-Interpolation berechnet werden.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Bild_approx_Splines}

Glattheitsbedingungen an den Stützstellen führen zu Bedingungen an $ f_k$ und $ d_k^{\pm}$. Stetige Differenzierbarkeit bei $ x_k$ ist äquivalent zu

$\displaystyle d_k^-=d_k=d_k^+ \,. $

Ist auch die zweite Ableitung bei $ x_k$ stetig, so ist die Bedingung $ p_k^{\prime\prime}(x_k^-) = p_{k+1}^{\prime\prime}(x_k^+)$ äquivalent zu einer linearen Gleichung zwischen $ f_{k-1},f_k,f_{k+1}$ und $ d_{k-1}^+,d_k,d_{k+1}^-$:

$\displaystyle \frac{1}{\Delta_k} d_{k-1}^+ + \left(\frac{2}{\Delta_k} + \frac{2... ...rac{3}{\Delta_k^2}(f_k - f_{k-1}) + \frac{3}{\Delta_{k+1}^2} (f_{k+1} - f_k), $

mit $ \Delta_k = x_k - x_{k-1}$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013