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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Mittelwertsatz

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Für eine stetig differenzierbare Funktion $ f$ gilt

$\displaystyle f(b)-f(a) = f^\prime(t)(b-a) $

für ein $ t\in(a,b)$.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{mittelwertsatz}

Geometrisch bedeutet die Identität, dass die Tangente in einem Punkt $ t$ parallel zu der durch die Punkte $ (a,f(a))$ und $ (b,f(b))$ verlaufende Sekante ist. Man schreibt auch $ \Delta y = f^\prime(t)\Delta x$.

Für die Funktion

$\displaystyle g(x)= f(x)- f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

gilt $ g(a)=g(b)=0$. Da $ f$ stetig differenzierbar ist, ist auch $ g$ stetig differenzierbar und nach dem Satz von Rolle existiert ein $ t \in (a,b)$ mit

$\displaystyle 0 = g^\prime(t)$ $\displaystyle = f^\prime(t) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$    

bzw.


$\displaystyle f(b)-f(a)$ $\displaystyle = f^\prime(t)(b-a)\,.$    

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  automatisch erstellt am 14.  6. 2016