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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Monotone Konvergenz einer Folge

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Eine Folge $ (a_n)$ heißt monoton wachsend bzw. monoton fallend, wenn $ a_{n+1} \ge a_n$ bzw. $ a_{n+1} \le a_n$ für alle $ n$. Sie heißt streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend, wenn $ a_{n+1} > a_n$ bzw. $ a_{n+1} < a_n$ für alle $ n$.

\includegraphics[clip,width=.6\linewidth,height=.3\linewidth]{a_monotone_konvergenz.eps}

Eine beschränkte, für $ n > n_0$ monoton wachsende oder fallende Folge $ (a_n)$ ist konvergent. Der Grenzwert ist das Supremum bzw. Infimum der Folgenelemente $ a_n$, $ n > n_0$.

Für eine monoton wachsende Folge folgt mit der Definition des Supremums, dass für alle $ \varepsilon>0$ ein $ n_{\varepsilon}$ existiert.

$\displaystyle a-\varepsilon < a_{n_{\varepsilon}} \leq a = \sup_{n>n_0}a_n $

Aufgrund der Monotonie ist

$\displaystyle a-\varepsilon < a_{n_{\varepsilon}} \leq a_n \leq a$   , für $\displaystyle n > {n_{\varepsilon}}\; , $

also $ a_n \rightarrow a$ .

Für monoton fallende Folgen argumentiert man analog.

(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 8.  4. 2008