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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1211: Jordan-Form einer Matrix, Multiple Choice

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es sei $ A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ und $ J$ eine Jordan-Form von $ A$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Ist $ A$ diagonalisierbar, dann gibt es von $ A$ keine Jordan-Form.
b)
Die Anzahl der Jordanblöcke zu einem Eigenwert $ \lambda$ entspricht der Dimension des zu $ \lambda$ gehörenden Eigenraums.
c)
Besteht $ J$ aus genau einem Jordanblock, dann ist die algebraische Vielfachheit eines jeden Eigenwerts von $ A$ gleich seiner geometrischen Vielfachheit.
d)
Die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte von $ A$ legen $ J$ fest - bis auf Permutation der Blöcke.
e)
Ist $ J$ auch Jordan-Form der Matrix $ B\in \mathbb{C}^{n \times n}$, dann gibt es eine invertierbare Matrix $ X$ mit $ X^{-1}AX=B$.
f)
Es sei $ T$ eine Matrix mit $ T^{-1}AT=J$. Vertauscht man zwei beliebige Spalten von $ T$, dann werden in $ J$ zwei Jordanblöcke vertauscht.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017