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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1750 Variante 5: Lineare Abbildungen von Polynomen

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Variante   
Gegeben ist der Vektorraum Pol$_{2}{\mathbb{R}} := \left\lbrace p\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \,\vert\, p(X) = \sum_{j=0}^2\alpha_jX^j, \alpha_j \in \mathbb{R} \right\rbrace$ der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 mit den Basen

$\displaystyle B\colon 1, X, X^2$   und  $\displaystyle \quad C\colon -1 -2X^2, \, 1 -X , \, X +3X^2.$    

Weiterhin sei $\varphi\colon$Pol$_{2}{\mathbb{R}}\to$Pol$_{2}{\mathbb{R}}$ die lineare Abbildung, welche die folgenden Bedingungen erfüllt.

$\displaystyle \varphi\left( -2 +3X -3X^2\right) = 2 +3X ,\quad \varphi\left( -1 +X +3X^2\right) = 3 +3X -X^2,\quad \varphi\left( -X^2\right) = -1$    

(a) Bestimmen Sie das Bild des Polynoms $p(X) = 6 -9X +8X^2$ unter der Abbildung $\varphi$.

Antwort:

$\varphi\left( 6 -9X +8X^2 \right) = $ $\,+\,$ $\,X\, \,+\,$ $\,X^2\,$

(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix ${{\strut}_{B}^{}{\strut\varphi}_{B}^{}}$.

Antwort:

${{\strut}_{B}^{}{\strut\varphi}_{B}^{}} = \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

(c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix ${{\strut}_{C}^{}{\strut\varphi}_{C}^{}}$.

Antwort:

${{\strut}_{C}^{}{\strut\varphi}_{C}^{}} = \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

(d) Sei $U:= \mathop{\kern0mm\mathrm{L}}\left(X^2,1\right)\subset$Pol$_{2}{\mathbb{R}}$ der Untervektorraum mit Basis $D\colon X^2,1$. Weiterhin sei

$\displaystyle f\colon U \to$Pol$\displaystyle _{2}{\mathbb{R}},\, p\mapsto \varphi(p)$    

die Einschränkung von $\varphi$ auf $U$. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix ${{\strut}_{B}^{}{\strut f}_{D}^{}}$.

Antwort:

${{\strut}_{B}^{}{\strut f}_{D}^{}} = \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

  

[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  7. 2024