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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1751 Variante 10: Eigenwerte und Eigenvektoren

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Variante   
Gegeben sei die Matrix $A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$ als

  $\displaystyle A = \begin{pmatrix}-1&-8&-6&-2\\ 1&5&3&1\\ -1&-6&-4&-1\\ 2&8&6&3\end{pmatrix}.$    

(a) Gegeben seien die Vektoren $v_1$, $v_2$, $v_3$ und $v_4$ als

  $\displaystyle v_1 = \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \b... ...\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_4 = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.$    

Geben Sie an, ob die Vektoren $v_1$, $v_2$, $v_3$ und $v_4$ Eigenvektoren von $A$ sind, und bestimmen Sie in diesem Fall den zugehörigen Eigenwert. Ansonsten tragen Sie bitte nichts in die Kästchen ein.

Antwort:

$v_1$ ist: kein Eigenvektor, ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ =
$v_2$ ist: kein Eigenvektor, ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ =
$v_3$ ist: kein Eigenvektor, ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ =
$v_4$ ist: kein Eigenvektor, ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ =

(b) Für welches $\lambda\in\{-1,-2,3\}$ ist $\lambda$ ein Eigenwert von $A$? Bestimmen Sie sowohl $\lambda$ als auch einen zugehörigen Eigenvektor $v$.

Antwort:

$\lambda$ =  ,  $v = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$ —2,  ,  —2, $\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$

(c) Bestimmen Sie die Spur und die Determinante der Matrix $A$.

Antwort:

$\mathop{\mathrm{Sp}}(A)$ =  ,  $\mathop{\mathrm{det}}(A)$ = .

(d) Bestimmen Sie den kleinsten Eigenwert $\lambda_{\mathrm{min}}$ der Matrix $A^3$ und seine algebraische Vielfachheit. Bestimmen Sie den größten Eigenwert $\lambda_{\mathrm{max}}$ der Matrix $-4A$ und seine algebraische Vielfachheit.

Antwort:

$\lambda_{\mathrm{min}}$ =  ,  $e_{\lambda_{\mathrm{min}}}$ =  ,  $\lambda_{\mathrm{max}}$ =  ,  $e_{\lambda_{\mathrm{max}}}$ = .


  

[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2025