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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 64: Basen von Polynomen

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Variante   
Gegeben ist der Vektorraum

Pol$\displaystyle _{2}\,{\mathbb{R}} := \left\{\left. p\colon\mathbb{R}\rightarrow\... ... p(X) = \sum_{j=0}^2\alpha_jX^j \,\right\vert\,\alpha_j \in \mathbb{R} \right\}$

der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 mit den Basen

$\displaystyle B\colon 1,\, X,\, X^2$   und    $\displaystyle C\colon 1 +2X^2,\, 5 +9X^2,\, X +3X^2. $

(a)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Polynoms $p(X) = -7 +4X -2X^2$ bezüglich der Basen $B$ und $C$.

Antwort:

${{\strut}_{B}^{}{p}}$  = $\Big($   ,  ,   $\Big)^{^{\scriptstyle\intercal}}$
${{\strut}_{C}^{}{p}}$  = $\Big($   ,  ,   $\Big)^{^{\scriptstyle\intercal}}$

(b)
Gegeben seien die folgenden Vektoren in Pol$_{2}\,{\mathbb{R}}$ :

$\displaystyle 1 +4X -4X^2,\, 1+\alpha X+8X^2,\, -1 -3X -2X^2 $

Bestimmen Sie $\alpha \in \mathbb{R}$ so, dass diese Vektoren linear abhängig sind.

Antwort:

$\alpha$ =

(c)
Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus den vier Vektoren

$\displaystyle X +7X^2,\, 7X -8X^2,\, -5 -8X ,\, -1 +8X $

eine Basis des Pol$_{2}\,{\mathbb{R}}$ auszuwählen?

Hinweis: Beachten Sie, dass durch Verändern der Reihenfolge der Basiselemente neue Basen entstehen.

Antwort:

Anzahl der Möglichkeiten:


  

[Verweise]
  automatisch erstellt am 16.  5. 2024