Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Interaktive Aufgabe 1768 Variante 8: Eigenschaften von Abbildungen

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Aufgabensammlung:
	Interaktive Aufgabe 1768 Variante 8: Eigenschaften von Abbildungen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

[vorherige] [Variante 8] [nächste]

Gegeben seien die folgenden Vektoren $v_1, v_2 \in \mathbb{R}^{3}$ als

$\displaystyle v_1 = \dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}, v_2 = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}.$

(a)

Bestimmen Sie einen Vektor

so, dass die Vektoren

in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.

Antwort:

$v_3 = \dfrac{1}{\sqrt{21}}\left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$ , , $\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}.$

(b)

Seien die Matrix $A = (v_1,\, v_2,\, v_3)$ , der Vektor $t = (0,0,0){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$ und die Abbildung $\alpha$ gegeben durch

$\displaystyle \alpha\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\,v\mapsto Av + t.$

Bestimmen Sie den Typ der Abbildung $\alpha$ .

Antwort:

Die Abbildung $\alpha$ ist:

keine Translation

nicht injektiv

eine Affinität

nicht orthogonal

nicht linear

eine eigentliche Isometrie

(c)

Sei eine weitere Abbildung $\beta$ gegeben durch

$\displaystyle \beta\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\,v\mapsto Bv + s$ mit $\displaystyle \quad B = \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{\sqrt{14}}&\dfrac{1}{\sqrt{14... ...21}}&-\dfrac{1}{\sqrt{21}} \end{pmatrix},\, \boldsymbol0 \neq s\in\mathbb{R}^3.$