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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1770 Variante 55: Eigenwerte und Eigenvektoren

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Variante   
Gegeben sei die folgende Matrix $ A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$ als

$\displaystyle A = \begin{pmatrix}6&-2&-4&-3\\ 5&-1&-4&-3\\ 10&-4&-7&-6\\ -10&4&6&5 \end{pmatrix}.$    

(a)
Gegeben seien die Vektoren $ v_1$, $ v_2$, $ v_3$ und $ v_4$ als

$\displaystyle v_1 = \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ -3\\ 2 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{... ...1\\ 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}, v_4 = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.$    

Bestimmen Sie welcher der Vektoren $ v_1$, $ v_2$, $ v_3$ und $ v_4$ ein Eigenvektor von $ A$ ist.

Antwort:

$ v_1$ ist: ein Eigenvektor, kein Eigenvektor
$ v_2$ ist: ein Eigenvektor, kein Eigenvektor
$ v_3$ ist: ein Eigenvektor, kein Eigenvektor
$ v_4$ ist: ein Eigenvektor, kein Eigenvektor

(b)
Für welches $ \lambda\in\{-3,2,3\}$ ist $ \lambda$ ein Eigenwert von $ A$? Bestimmen Sie sowohl $ \lambda$ als auch einen zugehörigen Eigenvektor $ v$.

Antwort:

$ \lambda$ = , $ v = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$ -1, , -2, $ \left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}.$

(c)
Bestimmen Sie die Spur und die Determinante der Matrix $ A$.

Antwort:

$ \mathop{\mathrm{Spur}}(A)$ = , $ \mathop{\mathrm{det}}(A)$ = .

(d)
Bestimmen Sie den kleinsten Eigenwert $ \lambda_{\mathrm{min}}$ der Matrix $ A^2$ und den größten Eigenwert $ \lambda_{\mathrm{max}}$ der Matrix $ -1A$.

Antwort:

$ \lambda_{\mathrm{min}}$ = , $ \lambda_{\mathrm{max}}$ = .

  

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017