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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1785 Variante 28: Gradienten und partielle Ableitungen

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Variante   
(a)
Gegeben seien die Abbildung

$\displaystyle f_1\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\,(x_1,x_2) \mapsto f_1(x_1,x_2) = -2x_1^2+2x_1 x_2^3-6$    

und

$\displaystyle P_1 = \begin{pmatrix}3\\ -1 \end{pmatrix}, \quad P_2 = \begin{pma... ...end{pmatrix}, \quad v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}.$    

Bestimmen Sie den Gradienten $ \mathop{\mathrm{grad}} f_1(P_1)$ und die Richtungsableitung $ \partial_{v_1} f_1(P_2)$ im Punkt $ P_2$ in Richtung $ v_1$.

Antwort:

$ \displaystyle\mathop{\mathrm{grad}} f_1(P_1) = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$ , $ \left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$ ,     $ \displaystyle\partial_{v_1} f_1(P_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(b)
Gegeben seien die Abbildung

$\displaystyle f_2\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R},\, (x,y,z) \mapsto f_2(x,y,z) = -6\sin(yz^{8})-3x{(e^y)}^z$    

und

$\displaystyle P_3 = \begin{pmatrix}-1\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad P_4 = \begi... ...pmatrix}, \quad v_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -2\end{pmatrix}.$    

Bestimmen Sie den Gradienten $ \mathop{\mathrm{grad}} f_2(P_3)$ und die Richtungsableitung $ \partial_{v_2} f_2(P_4)$ im Punkt $ P_4$ in Richtung $ v_2$.

Antwort:

$ \displaystyle\mathop{\mathrm{grad}} f_2(P_3) = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$ , , $ \left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$ ,     $ \displaystyle\partial_{v_2} f_2(P_4) = \sqrt{5}\,$

(c)
Gegeben seien für $ \eta \in \mathbb{N}$ die Abbildung

$\displaystyle f_3\colon \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+ ... ... \mapsto f_3(\rho,\theta,\xi)=\ln\left(2\rho^2+3\eta\theta\xi+6\rho^{-1}\right)$    

und

$\displaystyle P_5 = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}, \quad P_6 = \begin{... ...pmatrix}, \quad v_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}.$    

(i)
Bestimmen Sie für $ \eta = 1$ den Gradienten $ \mathop{\mathrm{grad}} f_3(P_5)$ und die Richtungsableitung $ \partial_{v_3} f_3(P_6)$ im Punkt $ P_6$ in Richtung $ v_3$.

Antwort:

$ \displaystyle\mathop{\mathrm{grad}} f_3(P_5) = \frac{1}{4}\left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$ , , $ \left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$ ,     $ \displaystyle\partial_{v_3} f_3(P_6) = \frac{1}{14\sqrt{3}}\,$

(ii)
Bestimmen Sie den Wert von $ \eta$ so, dass gilt

$\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\xi} f_3 (P_5) = \frac{15}{8}.$    

und geben Sie für dieses $ \eta$ den Wert von $ \frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\theta} f_3 (P_5)$ an.

Antwort:

Geben Sie den Bruch gekürzt und mit positivem Nenner an.

$ \eta = $ ,         $ \displaystyle\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\theta} f_3 (P_5) = $ /


  

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017