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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 179: Volumen, Normalen und Schwerpunkt eines Körpers im Vektorfeld

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Im $ \mathbb{R}^3$ sei der Körper $ M$ , der durch den Graph $ S$ der Funktion $ f(x,y) =5 -x^2-y^2+2y$ und der Ebene $ E$ mit der Gleichung $ z=2$ eingeschlossen wird, gegeben. Die Kurve $ K$ sei gegeben durch $ S \cap E$ .

Das Vektorfeld $ g: \mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$ sei definiert durch

$\displaystyle g: \quad \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x+y \\ x+y+z \\ y \end{pmatrix}.$

a)
Wie lautet der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor von $ \partial M$ in $ (0,0,5)$ ?
$ \Big(\ $ , , $ \ \Big)^{\operatorname t}\ \Big/\ $ $ ^\frac{1}{2}$

b)
Wie lautet der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor von $ \partial M$ in $ (1,1,2)$ ?
$ \Big(\ $ , , $ \ \Big)^{\operatorname t}$

c)
$ \mathrm{rot} g =\Big(\ $ , , $ \ \Big)^{\operatorname t}$ .

d)
$ \mathrm{div} g =$ .

e)
Eine Parametrisierung $ v(t)$ von $ K$ lautet
$ \Big(\ $ $ \cos\varphi$ + , $ \sin\varphi$ + , $ \ \Big)^{\operatorname t}\ ,\ \varphi\in[0,2\pi)$

f)
Verwenden Sie der Geometrie des Körpers angepasste Zylinderkoordinaten und ergänzen Sie das Dreifach-Integral so, dass es das Volumen von $ M$ beschreibt:

$ \displaystyle\int\limits_a^b \int\limits_c^d \int\limits_e^f\quad$ + $ r$ + $ r^2$ $ \mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z$

$ b\ =\ $      $ d\ =\ \big($ $ \ -\ z\big)^\frac{1}{2}$     $ f\ =\ $ $ \ \pi$

$ a\ =\ $     $ c\ =\ $     $ e\ =\ $

g)
Das Volumen von $ M$ ist $ \ \pi$ .

h)
Sei $ S_P$ der geometrische Schwerpunkt von $ M$ .

    $ y_{S_P}=$

i)
$ \iint\limits_{\partial M} g \cdot n\, \mathrm{d}O =$ $ \ \pi$ .

(Hierbei sei $ n$ der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor.)

j)
$ \int_K g \mathrm{d}r =$ $ \ \pi$ .


   

(Aus: Scheinklausur HM III Kimmerle WS02/03)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017