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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 225: Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Warteschlangen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Ein Kunde $ K$ betritt eine Schalterhalle mit zwei Schaltern. An jedem der Schalter wird gerade ein Kunde bedient. Sobald einer der beiden Schalter frei wird, erfolgt die Bedienung von $ K$ an diesem Schalter. Bekannt sei, dass die (zufälligen) Bedienzeiten, auch die restliche Bedienzeit des gerade bedient werdenden Kunden, am 1. Schalter exp$ (\lambda)$-verteilt und am 2. Schalter exp$ (\mu)$-verteilt sind $ (0<\lambda <\infty, \;\, 0<\mu <\infty)$ und dass alle Bedienzeiten voneinander unabhängig sind.
  1. Man ermittle die Verteilungsfunktion der Wartezeit $ W$ von $ K$ bis zum Beginn seiner Bedienung und gebe den zugehörigen Erwartungswert an.
    Hinweise: Man ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass das Minimum der beiden restlichen Bedienzeiten $ X$ und $ Y$ größer als $ t$ ist $ (0\leq t < \infty)$; das Ereignis, dass beide Schalter gleichzeitig frei werden, tritt nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auf und kann vernachlässigt werden.
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $ K$ am 2. Schalter bedient wird? Welches unmittelbar einleuchtende Ergebnis erhält man im Spezialfall $ \lambda =\mu $?
  3. Man ermittle für festes $ x \in [0,\infty)$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Bedienzeit $ Z$ von $ K$ höchstens $ x$ ist, und damit die Verteilungsfunktion dieser Bedienzeit.
  4. Man gebe im Spezialfall $ \lambda =\mu $ unter Verwendung der nicht auszuwertenden Verteilungsfunktion $ \Phi$ der standardisierten Normalverteilung näherungsweise die Wahrscheinlichkeit an, dass $ K$ bei 400 unabhängigen Konstellationen der eingangs beschriebenen Art höchstens 180mal am 2. Schalter bedient wird.


Lösung:


(Bei allen Lösungen $ \lambda=$L vor $ \mu =$M nennen und alle Angaben ohne Leerzeichen schreiben.)

  1. Die Wartezeit $ W$ ist $ \exp($ $ )-$verteilt und hat den Erwartungswert $ 1/$.
  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass $ K$ am 2. Schalter bedient wird ist $ /$ . Im Spezialfall $ \lambda =\mu $ ist die Wahrscheinlichkeit $ /$ .
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bedienzeit $ Z$ von $ K$ höchstens $ x$ ist, ergibt sich zu:
    $ -[$$ /($ $ )]e^{-\lambda x}-[$$ /($ $ )]e^{-\mu x}$.
  4. Die Wahrscheinlichkeit, dass $ K$ bei 400 unabhängigen Konstellationen höchstens 180mal am 2. Schalter bedient wird ist ungefähr: $ 1-\Phi ($$ )$.

   
(Prüfungsaufgabe Herbst 1997)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017