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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 303: Schnitt dreier Ebenen mit Parameter, Matrixdarstellung einer Projektion, Länge einer Kurve

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^3$ seien in Abhängigkeit von $ \alpha\in\mathbb{R}$ die Ebenen

$\displaystyle E_1:$ $\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 \quad \ = 0$    
$\displaystyle E_2:$ $\displaystyle x_1 + 2x_2 \qquad \ \ \ = -1$    
$\displaystyle E_3:$ $\displaystyle 2x_1 \qquad + \alpha^2x_3 = \alpha$    

gegeben.
a)
Für welche Werte von $ \alpha\in\mathbb{R}$ ist $ D_\alpha=E_1\,\cap\,E_2\,\cap\,E_3$ die leere Menge, ein Punkt bzw. eine Gerade? Berechnen Sie $ D_{-1}$.

b)
Sei $ E$ die Ebene im $ \mathbb{R}^3$ mit der Gleichung $ x_3=0$. Für $ t\in\mathbb{R}$ bezeichne $ \pi_t$ die Projektion von $ \mathbb{R}^3$ auf $ E$ in Richtung des Vektors

$\displaystyle v_t=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\, t^2 \\ [0.1cm] 3t \\ [0.1cm] 1\end{array}\right). $

Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von $ \pi_t$ bzgl. der kanonischen Basis des $ \mathbb{R}^3$.

c)
Berechnen Sie die Länge der Kurve $ C:[0,4]\longrightarrow\mathbb{R}^3,\ t\longmapsto\pi_t(D_{-1})$.


Hinweis: $ \displaystyle \int\sqrt{a^2+t^2}~dt=\frac{1}{2}\left[t\sqrt{a^2+t^2}+a^2\ln(t+\sqrt{a^2+t^2})\right]$.

Lösung:

a)
$ D_\alpha$ ist die leere Menge für $ \alpha=$.

$ D_\alpha$ ist eine Gerade für $ \alpha=$.

$ D_{-1}=\Big($,, $ \Big)^{\operatorname t}$.

b)
Matrixdarstellung von $ \pi_t$:
$ A_t=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1\big/$$ t^2$
$ t$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

c)
$ C(t)=\pi_t(D_{-1})=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ +1\big/$$ t^2$
$ t$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

$ C'(t)=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ t$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Länge von C:         $ \displaystyle+\frac{9}{2}\ln\Big($$ \Big)$.


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle H02)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017