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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 318: Homogene lineare Differentialgleichung vierter Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle y^{(4)}+2y'''-3y''-8y'-4y = 0 \ .$ (1)

a)
Geben Sie die allgemeine reelle Lösung von (1) an.

Hinweis: Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind ganzzahlig.
b)
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der inhomogenen Gleichung

$\displaystyle y^{(4)}+2y'''-3y''-8y'-4y = 2 e^{-2x} \ .$ (2)

c)
Welche Lösung $ y$ der Differentialgleichung (1) erfüllt $ \displaystyle{\int_{-\infty}^0 y \ dx = 1} $ ?

Lösung:

a)
Charakteristisches Polynom:         $ \lambda^4$+$ \lambda^3$+$ \lambda^2$+ $ \lambda$+.

Nullstellen:         $ \lambda_{1/2}=$

$ (\lambda_3<\lambda_4)$         $ \lambda_3=$         $ \lambda_4=$.

Homogene Lösung:
keine Angabe
$ \displaystyle y_h=c_{1/2}e^{\lambda_{1/2}}+c_3e^{\lambda_3}+c_4e^{\lambda_4}$
$ \displaystyle y_h=c_1e^{\lambda_1}+c_2e^{\lambda_2}+c_3e^{\lambda_3}+c_4e^{\lambda_4}$
$ \displaystyle y_h=c_1xe^{\lambda_1}+c_2e^{\lambda_1}+c_3e^{\lambda_3}+c_4e^{\lambda_4}$
$ \displaystyle y_h=c_1xe^{\lambda_1}+c_2x^2e^{\lambda_2}+c_3x^3e^{\lambda_3}+c_4x^4e^{\lambda_4}$

b)
Ansatz für die partikuläre Lösung:
keine Angabe
$ y_p=ae^{-2x}$
$ y_p=ax^2e^{-x}$
$ y_p=ax^2e^{-2x}$
$ y_p=axe^{-2x}$
$ a=1\Big/$
c)
$ c_1=$        $ c_2=$        $ c_3=$        $ c_4=$

   
(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017