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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 328: Kurvendiskussion einer periodischen Funktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion $ {\displaystyle{f(x)=\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)+2}\,.}}$

a)
Untersuchen Sie $ f$ auf Periodizität.

$ f$ ist     
keine Angabe
nicht periodisch
periodisch
    		 mit der Periodenlänge     $ \pi$

b)
Berechnen Sie alle Nullstellen von $ f$ im Intervall $ [0,\pi)$.

$ N_1$: $ \Big($$ \pi\big/$ $ \Big\vert\quad 0\quad \Big)$          $ N_2$: $ \Big($$ \pi\big/$ $ \Big\vert\quad 0\quad \Big)$

c)
Berechnen Sie die Ableitung von $ f$.
$ f'(x)\ =\ $
$ \big($$ +$ $ \sin(2x)\big)$
_______________________________________________________________
$ \big($ $ +\sin(2x)\big)^2$

d)
Berechnen Sie alle Extrempunkte von $ f$ im Intervall $ [0,\pi)$, und geben Sie an, ob es sich um lokale Maxima oder Minima handelt.


Geben Sie die Extremstellen in aufsteigender Reihenfolge an ($ x_1<x_2$).

$ E_1$: $ \Big(\ x_1\ \Big\vert\ y_1\ \Big)$, $ x_1=$ $ \pi\Big/12$, $ y_1^2=$ $ \Big/\sqrt{3}$     $ E_1$ ist
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
 
$ E_2$: $ \Big(\ x_2\ \Big\vert\ y_2\ \Big)$, $ x_2=$ $ \pi\Big/12$, $ y_2^2=$ $ \Big/\sqrt{3}$     $ E_2$ ist
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
 

e)
Bestimmen Sie eine Stammfunktion $ F$ von $ f$.
keine Angabe
$ F(x)\ =\ \frac{1}{2}\ln\vert\sin(2x)+2\vert$
$ F(x)\ =\ \frac{1}{2}\ln\vert\cos(2x)+2\vert$
$ F(x)\ =\ \ln\vert\sin(2x)+2\vert$
$ F(x)\ =\ \ln\vert\cos(2x)+2\vert$

f)
Berechnen Sie das folgende Integral:


$ \displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx \ = \ $
keine Angabe
$ =\ \ln\sqrt{3}$
$ =\ -\ln\sqrt{3}$
$ =\ \ln\sqrt{\frac{3}{2}}$
$ =\ -\ln\sqrt{\frac{3}{2}}$


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017