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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 408: Lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit Autonomen System

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie zwei linear unabhängige Lösungen der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle u_x+(ay+bz)u_y+(cy+dz)u_z=0$

mit

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr}3&5\\ 1&-1\end{array}\right).$

Die Differentialgleichung ist bereits reduziert (Rumpf DGL). Geben Sie das charakteristische System an.

$ x'(t)=$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$
$ y'(t)=$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$
$ z'(t)=$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$
Dieses System ist ein autonomes System. Berechnen Sie ein zugehöriges Phasen-DGL-System.

$ \frac{dy}{dx}=$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$  
$ \frac{dz}{dx}=$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$  

Berechnen Sie die Eigenwerte des Phasen-DGL-Systems.

$ \lambda_1\ =\ $ $ \quad<\quad\lambda_2\ =\ $.

Berechnen Sie die Eigenvektoren zu den Eigenwerten.

$ \lambda_1:\quad v_1=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$          $ \lambda_2:\quad v_2=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$

Lösung des Phasen-DGL-Systems:

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} y\\ z \end{array}\right)= c_1e^{\lambda_1x}v_1+c_2e^{\lambda_2x}v_2. $

Lösen sie diese Lösung nach $ {c_1\choose c_2}$ auf.

$ \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ c_1$
$ c_2$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)\ =\ \dfrac{1}{6} \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ e^{-\lambda_1x}$ $ e^{-\lambda_1x}$
$ e^{-\lambda_2x}$ $ e^{-\lambda_2x}$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right) \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ y$
$ z$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$.

Die beiden linear unabhängigen Lösungen sind:

$ u_1\ =\ \exp\Big($ $ x\Big)y\ -\ $$ \exp\Big($$ x\Big)z$

$ u_2\ =\ \exp\Big($ $ x\Big)y\ +\ $$ \exp\Big($$ x\Big)z$


   

(Autor: Knödler)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017