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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 409: Schaubild und Konvergenz von Fourier-Reihen, Reihenwert

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Die $ 2\pi-$periodische Funktion $ f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sei definiert durch

$\displaystyle f(x)= \frac1{12} (3x^2-\pi^2),\qquad -\pi\le x\le\pi\,. $

a)
Skizzieren Sie den Graph von $ f$ für $ -2\pi\le x \le 2\pi$.
Welche Skizze entspricht dem Graphen?

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fourier_a}         \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fourier_b}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fourier_c}         \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fourier_d}

b)
$ f$ besitzt die Fourierreihe

$\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k\sin kx)$

Welche Fourierkoeffizienten lassen sich allein auf Grund der Symmetrie-Eigenschaften von $ f$ ohne Rechnung bestimmen?
Berechnen Sie die weiteren Fourierkoeffizienten von $ f$ und geben Sie die Fourierreihe an.

Kreuzen sie die richtigen Koeffizienten an (k>0).

  keine Angabe 0 $ -1$ $ \pi$ $ \frac{(-1)^k}{k}$ $ \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ $ \frac{(-1)^k}{k^2}$
$ a_0$
$ b_0$
$ a_k$
$ b_k$

c)
Für welche $ x\in\mathbb{R}$ konvergiert die Fourierreihe gegen $ f(x)$?
keine Angabe
$ x\in\mathbb{R}$
$ x\in[-\pi,\pi]$
$ x\in(-\pi,\pi)$
$ x=0$

d)
Bestimmen Sie den Wert der Reihe

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}$

durch Auswertung der Fourierreihe an einem speziellen Punkt.

$ \pi^2\Big/$

e)
Die $ 2\pi$-periodische Funktion $ g$ sei definiert durch

$\displaystyle g(x)= \left\{\begin{array}{ll} f(x +\pi) & \mbox{ f''ur } -\pi\le x\le 0 \\ f(x-\pi) & \mbox{ f''ur }\; 0\le x\le \pi \\ \end{array}\right.$

Skizzieren Sie den Graph von $ g$ für $ -\pi \le x\le \pi$.

Welche Skizze entspricht dem Graphen?

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fourier1_a}         \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fourier1_b}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fourier1_c}         \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fourier1_d}

f)
Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution $ \tau=x-\pi$ und den bisherigen Ergebnissen das Integral $ \int_0^\pi g(x) \cos kx \,dx $ und bestimmen Sie damit die Fourierreihe von $ g$.

Hinweis: $ \cos\, (\alpha+\beta)= \cos \alpha\;\cos \beta-\sin \alpha\; \sin \beta.$

keine Angabe
$ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k^2}\sin(kx)$
$ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k^2}\cos(kx)$
$ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\sin(kx)$
$ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\cos(kx)$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017