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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 411: Wärmeleitungsgleichung mit Separationsansatz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Bestimmen Sie alle nicht-trivialen Lösungen der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle u_t= u_{xx}\, $

welche die Randbedingung

$\displaystyle u(0,t)=0, \quad u(\pi,t)=0 $

erfüllen und die Form

$\displaystyle u(x,t) = v(x)\; w(t) $

haben.

Hinweis: Es sind 3 Fälle zu untersuchen.

b)
Geben Sie die Lösung aus a) an, welche zusätzlich die Anfangsbedingung

$\displaystyle u(x,0) = 2\sin 3x-7\sin 5x$    für $\displaystyle 0\le x\le\pi $

erfüllt. Wie verhält sich diese Lösung für $ t\rightarrow \infty$?
Lösung:
a)
Durch Einsetzen des Ansatzes $ u=vw$ in die DGL und Trennung der Variablen erhält man folgende Gleichung:

keine Angabe
$ \displaystyle\frac{v'}{v}=\frac{w'}{w}= C \quad (C\in \mathbb{R})$
$ \displaystyle\frac{v'}{v}=\frac{w''}{w}= C \quad (C\in \mathbb{R})$
$ \displaystyle\frac{v''}{v}=\frac{w'}{w}= C \quad (C\in \mathbb{R})$
$ \displaystyle\frac{v''}{v}=\frac{w''}{w}= C \quad (C\in \mathbb{R})$

Man berechnet mit Fallunterscheidung folgende Lösungen:

keine Angabe
$ v(x)=b\sin nx$ mit $ b\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ v(x)=b\cos nx$ mit $ b\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ v(x)=b\e^{nx}$ mit $ b\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ v(x)=b\e^{-nx}$ mit $ b\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$

keine Angabe
$ w(t)=c\e^{nt}$ mit $ c\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ w(t)=c\e^{-nt}$ mit $ c\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ w(t)=c\e^{n^2t}$ mit $ c\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ w(t)=c\e^{-n^2t}$ mit $ c\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$

b)

$ u(x,t)\to$ für $ t\to\infty$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017