Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 414: Volumenintegral, Oberflächenintegral, Satz von Stokes

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^3$ sei der Körper $ M$, der durch den Graph $ S$ der Funktion $ f(x,y) = 6 - \sqrt{x^2+y^2 + 16} $ und der Ebene $ E$ mit der Gleichung $ z = 1$ eingeschlossen wird, gegeben. Die Kurve $ K$ sei gegeben durch $ S \cap E$.

Das Vektorfeld $ g: \mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$ sei definiert durch

$\displaystyle g: \quad \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}-x^2+y \\ z^2-3y \\ 2xz-y \end{pmatrix}.$

Skizzieren Sie den Schnitt von $ M$

mit der Ebene $ y = 0$:

Kreuzen Sie die richtige Skizze an.
 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{a4_bild1} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{a4_bild2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{a4_bild3} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{a4_bild4}

Der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor von $ \partial M$ in $ (-1,0,1)$ ist:

$ \Big($ , , $ \Big)$.

$ \mathrm{rot} g\ =\ \Big($ $ z$+ , $ z$+ , $ z$+ $ \Big)$.

$ \mathrm{div} g\ =\ $.

Eine Parametrisierung $ v(t)$ der Kurve $ K$ lautet      $ \Big($ $ \cos t$ , $ \sin t$ , $ \Big),\quad t\in[0,2\pi)$.

Ergänzen Sie das Dreifach-Integral so, dass es das Volumen von $ M$ beschreibt:

$ \pi$ - $ \sqrt{\vphantom{\frac{1}{1}}r^2+}$  
$ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$ $ r\ dz~dr~d\varphi$
 

Das Volumen von $ M$ ist     $ \pi\Big/$.

$ \displaystyle\iint\limits_{\partial M} g \cdot n\, \mathrm{d}O\ =\ $ $ \pi$     (Hierbei sei $ n$ der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor.)

Schreiben Sie nach dem Satz von Stokes $ \displaystyle\left\vert\int_K g\,\mathrm{d}x\right\vert$ als Oberflächenintegral und berechnen Sie es.

$ \displaystyle\left\vert\int_K g \mathrm{d}x\right\vert\ =\ \left\vert\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \pi$  
$ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$ $ r\ dr~d\varphi$
 
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right\vert\ =\ $$ \pi$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017