Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Interaktive Aufgabe 421: Autonomes System, Phasen-Differentialgleichungen, erstes Integral

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Aufgabensammlung:
	Interaktive Aufgabe 421: Autonomes System, Phasen-Differentialgleichungen, erstes Integral

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a)

Bestimmen Sie für das autonome System

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x'(t) & = & 1\\ y'(t) & = & y+3z\\ z'(t) & = & 2y+2z \end{array}\end{displaymath}$

durch Lösung des Phasen-Differentialgleichungssystems

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \frac{\displaystyle\mathrm{d}y}{\displays... ...athrm{d}z}{\displaystyle\mathrm{d}x} & = & 2y+2z\\ \end{array}\end{displaymath}$

ein erstes Integral.

b)

Zeigen Sie: $v(x,y,z)=\frac{1}{5}e^xy-\frac{1}{5}e^xz$ ist eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle v_x+(y+3z)v_y+(2y+2z)v_z =0\,.$

Bestimmen Sie eine weitere Lösung der partiellen Differentialgleichung, die zu

linear unabhängig ist.

Lösung:

a)

Berechnen Sie das charakteristische Polynom des Phasen-Differentialgleichungssystems.

$\lambda^2\ +\$ $\lambda\ +\$ $\ =\ 0$

Die Eigenwerte sind

$\lambda_1\ =\$ $\quad>\quad\lambda_2\ =\$

Eigenvektor zu $\lambda_1$ :

$v_1\ =\ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$

$\left.\rule{0pt}{5ex}\right)$

Eigenvektor zu $\lambda_2$ :

$v_2\ =\ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$

$\left.\rule{0pt}{5ex}\right)$

Die Lösung des Phasen-Differentialgleichungssystems ist

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right)\ =\ B\left(\begin{array}{c}c_1\\ c_2\end{array}\right)$

mit

$B\ =\ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$

$\exp\Big($ $x\Big)$		$\exp\Big($ $x\Big)$
$\exp\Big($ $x\Big)$		$\exp\Big($ $x\Big)$

$\left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

Berechnung von $B^{-1}$ .

Berechnen Sie die Determinante von .

$\vert B\vert\ =\$ $\exp\Big($ $x\Big)$

Damit berechnet man die Inverse $B^{-1}$ mit

$B^{-1}\ =\ \dfrac{1}{\vert B\vert}\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$

$\exp\Big($ $x\Big)$		$\exp\Big($ $x\Big)$
$\exp\Big($ $x\Big)$		$\exp\Big($ $x\Big)$

$\left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

Es gilt

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}c_1\\ c_2\end{array}\right)\ =\ B^{-1}\left(\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right)$

Das Erste Integral ist folglich:

$u_1\ =\$	$\Big/$ $\exp\Big($ $x\Big)y\ +\$ $\Big/$ $\exp\Big($ $x\Big)z$
$u_2\ =\$	$\Big/$ $\exp\Big($ $x\Big)y\ -\$ $\Big/$ $\exp\Big($ $x\Big)z$

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H03)

automatisch erstellt am 10. 8. 2017