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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 437: Gradient, Hesse-Matrix und quadratische Taylor-Approximation einer bivariaten Funktion

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Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix der Funktion

$\displaystyle f(x,y)=\ln\left(2x+\text{e}^{y}\right) $

und approximieren Sie $ f\left(\frac{1}{10},\frac{1}{10}\right)$ durch Taylor-Entwicklung um $ (0,0)$ bis zu Termen zweiter Ordnung einschließlich.

Antwort:
$ {\rm grad} f =\Big($$ x$ $ +$ $ {\text{e}}^y\,\Big)^{-1} \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ +$ $ {\text{e}}^y$
$ +$ $ {\text{e}}^y$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$  

$ {\rm H} f =\Big($$ x$ $ +$ $ {\rm e}^y\,\Big)^{-2} \left.\rule{0pt}{4ex}\right($
$ +$ $ x{\text{e}}^y$ $ +$ $ {\text{e}}^y$
$ +$ $ {\text{e}}^y$ $ +$ $ x{\text{e}}^y$
$ \left)\rule{0pt}{4ex}\right.$  
$ f\left(\frac{1}{10},\frac{1}{10}\right)\approx$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 2003)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018