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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 443: Integrationsverfahren, Rekursion, uneigentliches Integral

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Es sei

$\displaystyle I_n = \int \sinh^n \!x \, dx \, ,\quad n \ge 2\,. $

Geben Sie $ I_n $ in Abhängigkeit von $ I_{n-2} $ an. Berechnen Sie insbesondere $ I_3$.

Hinweis: Es gilt $ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 $.

b)
Bestimmen Sie den Wert folgender Integrale:



$ I_1 = \displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^2(\cos x)} \, dx}$,                  $ I_2 = \displaystyle{\int_0^{2} \frac{8x^2-2x+2}{x^3+1} \, dx}$.

c)
Für welche $ \alpha \in \mathbb{R} $ existiert das uneigentliche Integral

$\displaystyle \displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{{\rm e}^x -1}{x^\alpha} \, dx } \, ? $


Antwort:

a)
$ {\displaystyle{I_n=\frac{\sinh^\alpha x\,\cosh^{\,\beta} x}{\gamma} \ +}}$ $ {\displaystyle{I_{n-1} \ - \ \frac{\alpha}{\gamma}\ I_{n-2}}}$         mit $ \alpha=$ $ n\ +$ ,

$ \beta=$     und      $ \gamma=n\ +$


$ {\displaystyle{I_3=\frac{\sinh^\alpha x\,\cosh^{\,\beta} x}{\gamma} \ +}}$ $ \sinh x\ +$ $ \cosh x\ + c$         mit $ \alpha=$ ,

$ \beta=$     und     $ \gamma=$

b)
$ I_1 =$                $ I_2 =$
c)
$ \alpha<\alpha_0$ ,      $ \alpha\leq\alpha_0$ ,      $ \alpha=\alpha_0$ ,      $ \alpha\neq\alpha_0$ ,      $ \alpha\geq\alpha_0$ ,

     $ \alpha>\alpha_0$          mit $ \alpha_0=$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)


   

(Aus: Diplomvorprüfung HM I-II für aer, bau, geod, geol, kyb, mach, verf, Herbst 1995)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017