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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 454: Integration gebrochenrationaler Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Für welche reellen $ x$ ist die Funktion

$\displaystyle f(x) = \frac{5x}{ x^3 - 2 x^2 + x - 2} $

definiert?
b)
Bestimmen Sie eine Stammfunktion von $ f$. Existieren die Integrale
$ I_1=\int\limits_3^{\infty} f(x) \, dx $        bzw.         $ I_2=\int\limits_0^3 f(x) \, dx$ ?
Geben Sie gegebenenfalls den Wert an.
c)
Es sei nun $ g_{\alpha} (y) = f ( 2 y^{\alpha})$ für $ \alpha \neq 0$. Für welche $ y > 0$ ist $ g_{\alpha} (y)$ definiert? Untersuchen Sie mit Hilfe der Substitution $ z = 2 y^{\alpha}$, für welche $ \alpha \neq 0$ das Integral $ I_{\alpha} = \int\limits_2^{\infty} g_{\alpha} (y) \, dy$ konvergiert. Unterscheiden Sie dabei die Fälle $ \alpha > 0$ und $ \alpha < 0$.
d)
Gibt es ein $ \alpha \neq 0$, für welches das Integral $ \int\limits_1^2 g_{\alpha} (y) \, dy$ konvergiert?

Antwort:

a)
$ x \neq \;$
b)
$ F(x) = $ $ \ln\left\vert x-\rule{0cm}{2ex}\right.$ $ \left\vert\rule{0cm}{2ex}\right. -$ $ \, \ln(x^2+$ $ \, x+$ $ \,) \; +$ $ \, \arctan x $

$ I_1:$ existiert nicht        existiert        mit Wert
$ I_2:$ existiert nicht        existiert        mit Wert
c)
$ y \neq \;$ ,              $ I_{\alpha}$ konvergiert für $ \alpha > $ oder $ \alpha < $
d)
ja          nein
(auf vier Dezimalstellen gerundet)
   
(Kirchgässner HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017